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单向扫描

int partition(T A[], int p, int q)
{}
 swap(A[p], A[j]);
 return j;
}

双向扫描可以正常处理所有元素相同的情况，而且交换次数比单向扫描要少。

Hoare的双向扫描

int partition(T A[], int p, int q)
{} 
}

需要注意的是，返回值j并不是枢纽元的位置，但是仍然保证了A[p..j] <= A[j+1...q]。这种方法在效率上于双向扫描差别甚微，只是代码相对更为紧凑，并且用A[p]做哨兵元素减少了内层循环的一个if测试。

改进的双向扫描

枢纽元保存在一个临时变量中，这样左端的位置可视为空闲。j从右向左扫描，直到A[j]小于等于枢纽元,检查i、j是否相交并将A[j]赋给空闲位置A[i],这时A[j]变成空闲位置；i从左向右扫描，直到A[i]大于等于枢纽元,检查i、j是否相交并将A[i]赋给空闲位置A[j]，然后A[i]变成空闲位置。重复上述过程，最后直到i、j相交跳出循环。最后把枢纽元放到空闲位置上。

int partition(T A[], int p, int q)
{}
 A[i] = x; // i == j
 return i;
} 

这种类似迭代的方法，每次只需一次赋值，减少了内存读写次数，而前面几种的方法一次交换需要三次赋值操作。由于没有哨兵元素，不得不在内层循环里判断i、j是否相交，实际上反而增加了很多内存读取操作。但是由于循环计数器往往被放在寄存器了，而如果待排数组很大，访问其元素会频繁的cache miss，所以用计数器的访问次数换取待排数组的访存是值得的。

关于双向扫描的几个问题

1.内层循环中的while测试是用“严格大于/小于”还是”大于等于/小于等于”。

一般的想法是用大于等于/小于等于，忽略与枢纽元相同的元素，这样可以减少不必要的交换，因为这些元素无论放在哪一边都是一样的。但是如果遇到所有元素都一样的情况，这种方法每次都会产生最坏的划分，也就是一边1个元素，令一边n－1个元素，使得时间复杂度变成O(N^2)。而如果用严格大于/小于，虽然两边指针每此只挪动1位，但是它们会在正中间相遇，产生一个最好的划分，时间复杂度为log(2,n)。

另一个因素是，如果将枢纽元放在数组两端，用严格大于/小于就可以将枢纽元作为一个哨兵元素，从而减少内层循环的一个测试。
由以上两点，内层循环中的while测试一般用“严格大于/小于”。

2.对于小数组特殊处理

按照上面的方法，递归会持续到分区只有一个元素。而事实上，当分割到一定大小后，继续分割的效率比插入排序要差。由统计方法得到的数值是50左右(REF[3])，也有采用20的（REF[1]）, 这样原先的QuickSort就可以写成这样

void QuickSort(T A[], int p, int q)
{}
 else
 InsertionSort(T A[], p, q); //user insertion sort for small arrays
}

二、分治

分治这里看起来没什么可说的，就是一枢纽元为中心，左右递归，实际上也有一些技巧。

1.尾递归（Tail recursion）

快排算法和大多数分治排序算法一样，都有两次递归调用。但是快排与归并排序不同，归并的递归则在函数一开始， 快排的递归在函数尾部，这就使得快排代码可以实施尾递归优化。第一次递归以后，变量p就没有用处了， 也就是说第二次递归可以用迭代控制结构代替。虽然这种优化一般是有编译器实施，但是也可以人为的模拟：

void QuickSort(T A[], int p, int q)
{} 
}

采用这种方法可以缩减堆栈深度，由原来的O(n)缩减为O(logn)。

三、参考文献：

• [1]Mark Allen Weiss. Data Structures and Algorithms Analysis in C++. Pearson Education, Third Edition, 2006.
• [2]Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2001, Second Edtion, 2001.
• [3]Jon Bently. Programming Pearls. Addison Wesley, Second Edition, 2000.

jackaldire.com/200908/quick-sort-analysis/

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<time.h>

main()
{}
}

#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

unsigned long int next = 1;

void LJ_srand(unsigned int seed)
{}

int LJ_rand()
{}

main ()
{}